Question

已知數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列．設bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），數列{c_n}滿足cn=

1

bn•bn+1

．
（Ⅰ）求證：數列{b_n}成等差數列；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a_n=(

1

4

)n，從而可求得b_n=3n-2；利用等差數列的定義判斷即可；
（Ⅱ）利用裂項法可求得c_n=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），從而可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：證明：（Ⅰ）∵數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，
∴a_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，
∵b_n+2=3log

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n（n∈N^*），
∴b_n=3n-2；
∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，
∴數列{b_n}是以1為首項，3為公差的成等差數列．
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn•bn+1

=

1

(3n-2)[3(n+1)-2]

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∵數列{c_n}的前n項和為S_n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

點評：本題考查等差關系的確定及數列的求和，突出考查對數的運算性質及等比數列的通項公式與等差數列的判定，考查裂項法求和，屬于中檔題．