Question

在△ABC中，A=

π

6

，B∈(

π

2

，

5π

6

)，BC=2．
（Ⅰ）若B=

2π

3

，求sinC；
（Ⅱ）求證：AB=4sin(

5π

6

-B)；
（Ⅲ）求

BA

•

BC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A與B的度數(shù)求出C的度數(shù)，即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由正弦定理列出關系式，根據(jù)B表示出C代入計算即可得證；
（Ⅲ）利用平面向量的數(shù)量積運算化簡所求的式子，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個叫的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出范圍．

解答：解：（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sin

π

6

=

1

2

；
（Ⅱ）證明：在△ABC中，由正弦定理得

AB

sinC

=

BC

sinA

，
∵BC=2，sinA=

1

2

，B+C=

5π

6

，
∴AB=

BCsinC

sinA

=4sin（

5π

6

-B）；
（Ⅲ）∵|

BC

|=2，|

BA

|=4sin（

5π

6

-B），
∴

BA

•

BC

=|

BA

||

BC

|cosB=8sin（

5π

6

-B）cosB=8cosB（

1

2

cosB+

3

2

sinB）=4sin（2B+

π

6

）+2
=2+2cos2B+2

3

sin2B=4sin（2B+

π

6

）+2，
∵B∈（

π

2

，

5π

6

），∴2B+

π

6

∈（

7π

6

，

11π

6

），
∴sin（2B+

π

6

）∈[-1，-

1

2

），
則

BA

•

BC

=的取值范圍是[-2，0）．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．