Question

如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）求證：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱錐D-BCM的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DM∥平面APC，只需證明MD∥AP（因為AP?面APC）即可．
（2）在平面ABC內直線AP⊥BC，BC⊥AC，即可證明BC⊥面APC，從而證得平面ABC⊥平面APC；
（3）因為BC=4，AB=20，求出三棱錐的高，即可求三棱錐D-BCM的體積．
解答：證明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位線
∴MD∥AP∵MD?面APC，AP?面APC
∴MD∥面APC；（4分）

（II）∵△PMB為正三角形，D為PB的中點
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥面PBC（6分）∵BC?面PBC∴AP⊥BC
又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，（8分）
∵BC?面ABC∴平面ABC⊥平面APC；（10分）

（III）由題意可知，MD⊥面PBC，
∴MD是三棱錐D-BCM的高，
∴．（14分）
點評：本題考查直線與平面的平行，三棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，是中檔題．