Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線間的距離為10.設A(5,0)，B(1，0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程；(6分)

(3)過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S,若=t（t＞1），求證：=t.

Answer 1

解:(1)設橢圓的標準方程為+=1(a＞b＞0),依題意得得∴b²=4.

∴橢圓的標準方程為+=1.

(2)設過點A的直線方程為y=k(x-5)，代入橢圓方程+=1得

(4+5k²)x²-50k²x+125k²-20=0.(*)依題意得Δ=0，即(50k²)²-4(4+5k²)(125k²-20)=0,

得k=±，且方程的根為x=1,∴D(1,±).

當點D位于x軸上方時，過點D與AD垂直的直線與x軸交于點E，

直線DE的方程是y-=(x-1)，∴E(,0).

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為(x)²+(y)=.

同理可得：當點D位于x軸下方時，圓的方程為(x)²+(y+)=.

(3)設P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂),由=t得代入

∴(**)要證=t，即證

由方程組(**)可知方程組①成立,②顯然成立.∴=t.