Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求證：AB⊥平面A₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=2，${A_1}C=\sqrt{6}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC₁，A₁C，交于點O，連結OD，推導出OD∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）連結A₁B，推導出A₁D⊥AB，DC⊥AB，由此能證明AB⊥平面A₁CD．
（Ⅲ）推導出A₁D⊥平面ABC，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連結AC₁，A₁C，交于點O，連結OD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ACC₁A₁是平行四邊形，∴O是AC₁的中點，
∵D是AB的中點，∴OD是△ABC₁的中位線，∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）連結A₁B，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中點，
∴△ABA₁是等邊三角形，∴A₁D⊥AB，DC⊥AB，
∵A₁D∩CD=D，∴AB⊥平面A₁CD．
解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，${A_1}C=\sqrt{6}$，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中點，
∴AD=CD=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，∴AD²+CD²=A₁C²，
∴A₁D⊥CD，又A₁D⊥AB，AB∩CD=D，
∴A₁D⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：
V=S_△ABC•A₁D=$\frac{1}{2}×AB×CD×{A}_{1}D$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查三棱柱的體積的求法，是中檔題，解題時要 認真審題，注意空間思維能力的培養．