Question

已知函數(shù)（x∈R），其中a∈R．
（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）當a≠0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a=1代入，先對函數(shù)求導，然后求f（2），根據導數(shù)的幾何意義可知，該點切線的斜率k=f′（2），從而求出切線方程．
（II）先對函數(shù)求導，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函數(shù)的單調區(qū)間，根據函數(shù)的單調性求函數(shù)的極值．
解答：解：
（I）解：當a=1時，．
又．
所以，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為，即6x+25y-32=0．

（II）解：=．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）當a＞0時，令f'（x）=0，得到．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區(qū)間，（a，+∞）內為減函數(shù)，在區(qū)間內為增函數(shù)．
函數(shù)f（x）在處取得極小值，且．
函數(shù)f（x）在x₂=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
（2）當a＜0時，令f'（x）=0，得到．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區(qū)間（-∞，a）內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x₁=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
函數(shù)f（x）在處取得極小值，且．
點評：本小題考查導數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．