Question

設Xn={1，2，3…n}(n∈N*)，對X_n的任意非空子集A，定義f（A）為A中的最大元素，當A取遍X_n的所有非空子集時，對應的f（A）的和為S，則S₂=______，S_n=______．

Answer 1

由題意得：在所有非空子集中每個元素出現2^n-1次．
故有2^n-1個子集含n，有2^n-2個子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1個子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定義f（A）為A中的最大元素，
∴S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1
S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2ⁿ×n…②錯位相減，
∴①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1
∴S₂=（2-1）×2²+1=5．
故答案為：5，（n-1）2ⁿ+1．