Question

已知函數的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點（4，-1）在函數f（x）的圖象上，
∴2-=-1，解之得a=2…2
（2）證明：由（1）得f（x）=2-，定義域為x∈[-，+∞）…3
∵y=在∈[-，+∞）上是增函數，
∴f（x）=2-在∈[-，+∞）上減函數，…5
又f（0）=1＞0，f（4）=-1＜0，
∴f（0）•f（4）＜0，
∴f（x）在其定義域上有且只有一個零點；…7
（3）由題意得：2-+mx＞1即mx＞-1，
∵x＞0，
∴m＞…9
又==，
∴0＜＜1…11
要使原不等式對一切的正實數x均成立，只需m≥1，
∴m∈[1，+∞）…12
分析：（1）將（4，-1）代入已知條件，即可求得a的值；
（2）可判斷f（x）=2-在∈[-，+∞）上減函數，f（0）•f（4）＜0，從而可判斷f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）可將f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，轉化為m＞=恒成立即可．
點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查轉化思想，難點在于（3）m＞=的轉化與應用，屬于難題．