Question

在三棱錐S-ABC中，如圖，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，
BC=，SB=．
（1）證明：SC⊥BC；
（2）求側面SBC與底面ABC所成的二面角大小；
（3）（理）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數表示）．
（文）求三棱錐的體積V_S-ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°可知：SA⊥底面ACB，且BC⊥面ASC，所以SC⊥BC．
（2）二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．因為∠ACB=90°，所以AC⊥BC；又因為SC⊥BC，所以∠SCA即為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ACB中，AC=2，BC=，可得AB=．在Rt△SAB中，AB=，SB=，可得SA=．在Rt△SAC中，SA=，AC=2，可得∠SCA=60°，即得側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小．
（3）（理）分別取AC、SB、CB、SC的中點D、E、F、M，連接DE、EF、DF、ME、MD，則：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，所以異面直線SC與AB所成的角的大小即為∠EFD的大小．再由余弦定理可得∠EFD的大小．
（文）根據錐體的體積計算公式可知：，，所以V_S-ABC=
解答：解：（1）證明：如圖，
∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥底面ACB
又∵BC?底面ACB
∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SA∩AC=A
∴BC⊥面ASC
又∵SC?面ASC
∴SC⊥BC
（2）解：∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又∵SC⊥BC
∴∠SCA即為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ACB中，AC=2，BC=，∴AB=
在Rt△SAB中，AB=，SB=，∴SA=
在Rt△SAC中，SA=，AC=2，∴∠SCA=60°，
即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°
（3）
（理）分別取AC、SB、CB、SC的中點D、E、F、M，連接DE、EF、DF、ME、MD，則：ME∥CB，EF∥SC，DF∥AB，
所以異面直線SC與AB所成的角的大小即為∠EFD的大小．
∵ME∥CB，BC⊥面ASC
∴ME⊥面ASC
∴ME⊥MD，又ME=，MD=，則ED=
又∵EF=2，DF=
∴cos∠EFD=
∴異面直線SC與AB所成的角的大小為arccos．
（文）∵，，
∴V_S-ABC=．
點評：本小題主要考查棱錐的結構特征、體積計算，二面角及其度量，異面直線所成的角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．