Question

設(shè)a＞b＞1，0＜c≠1，且a，

10

，b成等比數(shù)列，試比較log_ac+log_bc與4lgc的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)m=log_ac+log_bc-4lgc，利用a，

10

，b成等比數(shù)列，可求得m=

lgc

lgalgb

（1-4lgalgb），利用基本不等式lgalgb＜

(lga+lgb)2

4

=

1

4

，可知1-4lgalgb＞0，再通過對c的范圍的討論，即可比較log_ac+log_bc與4lgc的大小．

解答：設(shè)m=log_ac+log_bc-4lgc=

lgc

iga

+

lgc

igb

-4lgc=lgc•

(lga+lgb-4lgalgb)

lgalgb

由a，

10

，b成等比數(shù)列，知ab=10
∴m=

lgc

lgalgb

（1-4lgalgb）
由a＞b＞1，知lga＞lgb＞0，
又lgalgb＜

(lga+lgb)2

4

=

1

4

，
∴1-4lgalgb＞0…（9分）
∴當(dāng)0＜c＜1時(shí)，m＜0即log_ac+log_bc＜4lgc，
當(dāng)c＞1時(shí)，m＞0即，log_ac+log_bc＞4lgc．

點(diǎn)評：本題考查比較大小，突出考查作差法的應(yīng)用，考查基本不等式與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．