Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B與點A關于原點對稱，AF₂-F₁F₂=0，若橢圓的離心率等于

2

2

（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面積等于4

2

，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，橢圓上是否存在點M使得△MA的面積等于8

3

？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知AF₂⊥F₁F₂，根據橢圓離心率可設橢圓方程可以寫成x²+2y²=a²，再將A（c，y_A），代入方程得y_A=

1

2

a，求出A的坐標，從而得出直線AB的斜率進而得到直線AB的方程；
（Ⅱ）連接AF₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，據此求出a，b的值，從而得到橢圓方程；
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設在橢圓上存在點M使得△MAB的面積等于8

3

，再利用點到直線AB的距離公式，求出點M到直線AB的距離d，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）由

.

AF2

-

.

F1F2

=0知AF₂⊥F₁F₂
∵橢圓離心率等于

2

2

，所以c=

2

2

a，b²=

1

2

a²，故橢圓方程可以寫成x²+2y²=a²，
設A（c，y_A），代入方程得y_A=

1

2

a，所以A（

2

2

a，

1

2

a），
故直線AB的斜率k=

2

2

，因此直線AB的方程為y=

2

2

x（4分）
（Ⅱ）連接AF₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，
所以

1

2

-2c-

1

2

a=4

2

，解得a2=16，b2=8故橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2

(2 2 )2+22

=4

3

假設在橢圓上存在點M使得△MAB的面積等于8

3

，設點M到直線AB的距離為d，則應有

1

2

-4

3

•d=8

3

，所以d=4
設M所在直線方程為

2

x-2y±4

6

=0與橢圓方程聯立消去x得方程4y²±8

6

y+32=0
即y²±2

6

y+8=0，∵△=（±2

6

）²-4×8＜0故在橢圓上不存在點M使得△MAB的面積等于8

3

（14分）

點評：本小題主要直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓方程等基礎知識，當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．