Question

如圖，O為坐標原點，點A，B在⊙O上，且點A在第一象限，點B（-

3

5

，

4

5

），點C為⊙O與x軸正半軸的交點，設∠COB=θ．
（1）求sin2θ的值；
（2）若

OA

•

OB

=

2

2

，求點A的橫坐標x_A．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,平面向量數量積的運算,單位圓與周期性

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）由三角函數定義知cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，由二倍角公式可求sin2θ的值．
（2）先求cos∠BOA=

2

2

，可得∠BOA=45°，又∠BOC=θ，可得cos∠AOC=cos（∠BOC-∠BOA）=cos（θ-45°），可求cos（θ-45°）=

2

10

，從而可求點A的橫坐標x_A．

解答： 解：（1）因點C在 x軸正半軸上，點B（-

3

5

，

4

5

），∠COB=θ，
所以由三角函數定義知cosθ=-

3

5

，sinθ=

4

5

，…（3分）
所以sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

．…（6分）
（2）因為

OA

•

OB

=OA•OB•cos∠BOA=

2

2

，又OA=OB=

(- 3 5 )2+( 4 5 )2

=1，
所以cos∠BOA=

2

2

，由題意可知∠BOA=45°，…（9分）
又∠BOC=θ，所以cos∠AOC=cos（∠BOC-∠BOA）=cos（θ-45°），
而cos（θ-45°）=cosθcos45°+sinθsin45°=

2

10

．…（12分）
故點A的橫坐標x_A=OA•cos∠AOC=1×

2

10

=

2

10

． …（14分）

點評：本題主要考察了二倍角的正弦公式的應用，平面向量數量積的運算，單位圓與周期性，屬于基本知識的考查．