Question

已知f（x）是定義在R上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，如果直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A、2k（k∈Z）
• B、2k或2k+

  1

  4

  （k∈Z）
• C、0
• D、2k或2k-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

分析：先求出-1≤x≤0時(shí)f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]時(shí)f（x）的解析式，再據(jù)周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]時(shí)f（x）的解析式，如圖，直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，故直線過頂點(diǎn)或與曲線相切時(shí)，滿足條件．

解答：解：設(shè)-1≤x≤0，則  0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
綜上，f（x）=x²，x∈[-1，1]，f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]，
由于直線y=x+a的斜率為1，在y軸上的截距等于a，在一個(gè)周期[-1，1]上，
a=0時(shí) 滿足條件，a=-

1

4

時(shí)，在此周期上直線和曲線相切，
并和曲線在下一個(gè)區(qū)間上圖象
有一個(gè)交點(diǎn)，也滿足條件． 由于f（x）的周期為2，
故在定義域內(nèi)，滿足條件的a 應(yīng)是 2k+0 或 2k-

1

4

，k∈Z．
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．