Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1： （t為參數，t≠0），其中0≤α≤π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2 cosθ．
（1）求C2與C3交點的直角坐標；
（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由曲線C2：ρ=2sinθ，化為ρ2=2ρsinθ，

∴x2+y2=2y．

同理由C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐標方程： ，

聯立 ，

解得 ， ，

∴C2與C3交點的直角坐標為（0，0），

（2）解：曲線C1： （t為參數，t≠0），化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其極坐標方程為：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），

∵A，B都在C1上，

∴A（2sinα，α），B ．

∴|AB|= =4 ，

當 時，|AB|取得最大值4

【解析】（I）由曲線C2：ρ=2sinθ，化為ρ2=2ρsinθ，把 代入可得直角坐標方程．同理由C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐標方程，聯立解出可得C2與C3交點的直角坐標．（2）由曲線C1的參數方程，消去參數t，化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其極坐標方程為：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|= 即可得出．