Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且

PQ

=λ

OA

，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得，

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，從而就可以得到軌跡C的方程；
（Ⅱ）方法一、設P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
可得x₂+x₁=-1，由O、M、P三點共線可知，

OM

=(x0，y0)與

OP

=(x1，

x

2 1

)共線，從而可得x0

x

2 1

-x1y0=0，
這樣，我們可以求出M的橫坐標，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，從而可求P的坐標；
方法二、設P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，確定直線OP方程、直線QA方程，我們可以得出點M的橫坐標為定值-

1

2

，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，從而可求P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得，

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，
整理得軌跡C的方程為y=x²（x≠0且x≠-1）．（4分）
（Ⅱ）方法一、
設P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，
由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂+x₁=-1，（6分）
由O、M、P三點共線可知，

OM

=(x0，y0)與

OP

=(x1，

x

2 1

)共線，
∴x0

x

2 1

-x1y0=0，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y₀=x₀x₁，（8分）
同理，由

AM

=(x0+1，y0-1)與

AQ

=(x2+1，

x

2 2

-1)共線，
∴(x0+1)(

x

2 2

-1)-(x2+1)(y0-1)=0，
即（x₂+1）[（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₁≠-1，故（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）=0，（10分）
將y₀=x₀x₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x₀+1）（-2-x₁）-（x₀x₁-1）=0，
整理得-2x₀（x₁+1）=x₁+1，
由x≠-1得x0=-

1

2

，（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，
由

PO

=2

OM

，得x₁=1，∴P的坐標為（1，1）． （14分）
方法二、設P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，
由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直線OP方程為：y=x₁x①；（8分）
直線QA的斜率為：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，
∴直線QA方程為：y-1=（-x₁-2）（x+1），即y=-（x₁+2）x-x₁-1②；（10分）
聯立①②，得x=-

1

2

，∴點M的橫坐標為定值-

1

2

．（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以OP=2OM，
由

PO

=2

OM

，得x₁=1，∴P的坐標為（1，1）．（14分）

點評：考查向量知識在幾何中的運用，實際上就是用坐標表示向量，再進行運算；（Ⅱ）的關鍵是確定出點M的橫坐標為定值．