Question

已知a＞0且a≠1，若函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間[3，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A．(

  1

  3

  ，1)
• B．（1，+∞）
• C．[

  1

  8

  ，

  1

  3

  ]∪(1，+∞)
• D．[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ]∪(1，+∞)

Answer 1

分析：令g（x）=ax²-x，則當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞減，且g（x）＞0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，且g（x）＞0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后把這兩個(gè)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：令g（x）=ax²-x（a＞0，且a≠1），則當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞減，且g（x）＞0．
∴4≤

1

2a

，且 g（4）＞0．   解得 a無解．
則當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，且g（x）＞0．
∴

1

2a

≤3，且 g（3）＞0． 解得 a＞

1

3

，∴1＞a＞

1

3

．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

1

3

，1)，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．