Question

如圖，在三棱拄中，側(cè)面，已知AA₁=2,,．

（1）求證：；
（2）試在棱(不包含端點上確定一點的位置,使得；
（3）在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）

(I)根據(jù)線面垂直的判定定理只需證明和即可.
(2)易證,然后設CE=x,則,則,
又因為,則，在直角三角形BEB₁中根據(jù)勾股定理建立關于x的方程,解出x的值，確定E為位置.
(3)本小題可以考慮向量法.求出兩個面的法向量，再求法向量的夾角，根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補求二面角
（1）因為側(cè)面，故．
在△BC₁C中，．
由余弦定理有 ．
故有 而 且平面
．…….……………4分
（2）由
從而 且 故
不妨設 ，則，則 
又 則^，
在直角三角形BEB₁中有，  從而
故為的中點時，．……………9分
法二：以為原點為軸，設，

則由得   即
．
化簡整理得      或 當時與重合不滿足題意
當時為的中點故為的中點使． ……….…9分
（3）取的中點，的中點，

的中點，的中點．連則，連則，
連則，連則，且為矩形，．
又． 故為所求二面角的平面角．
在中，．
．．…………15分
法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角．因為，  ．
故