Question

已知函數f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-

x

+2，其中a，b∈R且ab=2．函數f（x）在[

1

4

，1]上是減函數，函數g（x）在[

1

4

，1]上是增函數．
（1）求函數f（x），g（x）的表達式；
（2）若不等式f（x）≥g（x）對x∈[

1

4

，1]恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）求函數h（x）=f（x）+g（x）-

1

2

x的最小值，并證明當n∈N^*，n≥2時f（n）+g（n）＞3．

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據函數f（x）在[

1

4

，1]上是減函數，函數g（x）在[

1

4

，1]上是增函數，可得a≥2，b≥1，利用ab=2，即可求得函數的解析式；
（2）問題等價轉化為m≤

f(x)

g(x)

，利用

f(x)

g(x)

在[

1

4

，1]上是減函數，從而可求實數m的取值范圍；
（3）求導函數，可得函數的單調性，從而可得函數的最小值，利用函數的單調性可以證明結論．

解答：（1）解：求導函數可得f′（x）=2x-

a

x

∵函數f（x）在[

1

4

，1]上是減函數，∴對任意的x∈[

1

4

，1]，f′（x）≤0恒成立，所以a≥2x²，所以a≥2；
同理可得b≥1；
∵ab=2，∴a=2，b=1；
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-

x

+2；
（2）解：∵f（1）=1＞0，g（

1

4

）=

7

4

＞0，且函數f（x）在[

1

4

，1]上是減函數，函數g（x）在[

1

4

，1]上是增函數．
∴x∈[

1

4

，1]時，f（x）＞0，g（x）＞0，∴m≤

f(x)

g(x)

，
∵(

f(x)

g(x)

)′＜0，∴

f(x)

g(x)

在[

1

4

，1]上是減函數，
∴m≤

f(1)

g(1)

=

1

2

；
（3）解：h（x）=f（x）+g（x）-

1

2

x=x²-2lnx+

1

2

x-

x

+2，則h′（x）=(

x

-1)[

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

]，當x＞0時，

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

＞0，∴當x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增
∴x=1時，函數取得最小值h（1）=

5

2

；
證明：當n≥2時，h（n）≥h（2）=7-2ln2-

2

＞3，∴h（n）＞3，
∴n∈N^*，n≥2時f（n）+g（n）＞3+

n

2

＞3成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是正確求導，屬于中檔題．