Question

已知0≤x≤1，f（x）=，f（x）的最小值為m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此時a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過對a分類討論，利用導數即可求出；
（2）由表達式利用導數即可求出其最大值．
解答：解：（1）∵，
①當a＞2時，，f^′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上單調遞減，在x=1處取得最小值f（1）=1-a+=．
②當0＜a＜2時，，令f^′（x）=0，解得x=，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=處取得極小值，也是最小值．
③當a=2時，在x∈[0，1]上，f^′（x）=2（x-1）≤0，∴函數f（x）單調遞減，在x=1處取得最小值0．
綜上可知：m=．

（2）①當0＜a≤2時，m^′（a）==，當0＜a＜1時，m^′（a）＞0，函數m（a）單調遞增；當1＜a≤2時，m^′（a）＜0，函數m（a）單調遞減．
可知當a=1時，m（a）取得極大值，也是最大值；
②當a＞2時，m（a）=在（2，+∞）上單調遞減，m（a）＜m（2）=0．
綜上可知：只有當a=1時，m（a）取得最大值．
點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．