Question

若F₁、F₂為雙曲線C：的左、右焦點，O為坐標原點，點P及N （2，）均在雙曲線上，M在C的右準線上，且滿足．
（1）求雙曲線C的離心率及其方程；
（2）設雙曲線C的虛軸端點B₁、B₂（B₁在y軸的正半軸上），點A，B在雙曲線上，且，當時，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）由題知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，∴F₁OMP是菱形，…（1分）
∵由雙曲線第一定義：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，
∴|PF₂|=2a+c，
∴由雙曲線第二定義得：e==；
∴e=2+1，即e²-e-2=0；
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵，∴c=2a，
∴b²=3a²
將N（2，）代入雙曲線方程得 ，
∴a²=3，b²=9…（5分）
∴所求雙曲線方程為…（6分）
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），
∵，∴B₂，A，B三點共線，即直線AB過B₂（0，-3），
∴設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．
將x₁+x₂和x₁x₂代入，得．
檢驗滿足△＞0，
∴直線AB的方程為．
分析：（1）由題知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，故F₁OMP是菱形，由雙曲線第一定義：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，故|PF₂|=2a+c，由雙曲線第二定義得：e==，解得e=2或e=-1（舍），由此能求出雙曲線方程．
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），，故直線AB過B₂（0，-3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．由，知（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．由此能求出直線AB的方程．
點評：本題考查雙曲線C的離心率及其方程的求法，求直線AB的方程．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．