Question

13．某大型超市規定購買商品每滿100元可以領到一張獎券，每滿200元可以領到2張獎券，以次類推，抽獎方法是：甲箱子里裝有1個紅球、2個白球，乙箱子里裝有3個紅球、2個白球，這些球除顏色外完全相同，每次抽獎從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的紅球不少于2個，則獲獎（每次抽獎結束后將球放回原箱），甲顧客從該超市購買了200元的商品．
（Ⅰ）求在1次抽獎中獲獎的概率；
（Ⅱ）求甲顧客獲獎次數X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （I）設“在X次游戲中摸出i個紅球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），“在1抽獎中獲獎”為事件B，則B=A₂∪A₃，利用相互獨立事件、互斥事件與古典概型的概率計算公式即可得出．
（II）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．X～B$（2，\frac{7}{10}）$．即可得出．

解答 解：（I）設“在X次游戲中摸出i個紅球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），
“在1抽獎中獲獎”為事件B，則B=A₂∪A₃，
又P（A₃）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（A₂）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
且A₂，A₃互斥，所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$=$\frac{7}{10}$；
（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．X～B$（2，\frac{7}{10}）$．
所以X的分布列是

X	0	1	2
P	$\frac{9}{100}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{49}{100}$

X的數學期望E（X）=0×$\frac{9}{100}$+1×$\frac{21}{50}$+2×$\frac{49}{100}$=$\frac{7}{5}$．

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件與古典概型的概率計算公式、二項分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．