Question

巳知函數f（x）=2sinxcos（

3

2

π+x）+

3

cosxsin(π+x)+sin(

π

2

+x) cosx
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：利用同角平方關系及二倍角公式對函數化簡可得f(x)=

3

2

-sin(2x+

π

6

)
（1）由正弦函數的性質可得-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，代入可求函數的值域
（2） 由正弦函數的性質可得，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ可得，

π

6

+kπ≤x ≤

2π

3

+kπ即為所求的單調區間．

解答：解：f（x）=2sin2x-

3

sinx•cosx+cos2x
=sin2x-

3

sinxcosx+1
=

1-cos2x- 3 sin2x

2

+1
=

3

2

-sin(2x+

π

6

)
（1）∵sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]
∴f(x)∈[

1

2，

，

5

2

]
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ
可得，

π

6

+kπ≤x ≤

2π

3

+kπ
即函數在[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]   k∈Z單調遞減

點評：本題主要考查了同角平方關系，二倍角公式在三角函數化簡中應用，考查了函數y=Asin（ωx+φ）的值域及單調區間的求解，考查的是對基礎知識、基本方法的掌握．