Question

已知定義在R上的偶函數f（x）滿足條件f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下列命題，其中正確的是

①④

（1）f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（2）f（2）=f（0）；
（3）f（x）在[0，1]上是增函數；
（4）f（x）在[1，2]上是減函數．

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函數的定義求出函數周期性，結合函數的奇偶性，可判斷①的真假；
根據偶函數在對稱區間上對稱性相反，結合已知f（x）在[-1，0]上是增函數，可判斷②的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根據函數的周期性及②中結論，可判斷③的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根據函數的周期性，可判斷④的真假；

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2為周期的周期函數，
又由函數f（x）是定義在R上的偶函數
∴f（-x）=f（x），
即f（x+2）=f（-x），故f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故①正確；
∵偶函數f（x）在對稱區間上單調性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函數，得f（x）在[0，1]上是減函數，故②錯誤；
∵f（x）在[-1，0]上是增函數，且f（x）是以2為周期的周期函數，∴f（x）在[1，2]上是增函數，故③錯誤；
∵f（x）是以2為周期的周期函數，∴f（2）=f（0），故④正確；
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的單調性，奇偶性和周期性，其中熟練掌握周期函數在對應周期上單調性相同，偶函數在對稱區間上單調性相反等性質是解答的關鍵．