Question

設f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）．
（1）確定a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函數及其導函數，求出導函數的零點，把函數的定義域分段，判斷導函數在各段內的符號，從而得到原函數的單調區間，根據在各區間內的單調性求出極值點，把極值點的橫坐標代入函數解析式求得函數的極值．
解答：解：（1）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，故f′（x）=2a（x-5）+，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f°（1）=6-8a，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-16a=（6-8a）（x-1），
由切線與y軸相交于點（0，6）．
∴6-16a=8a-6，
∴a=．

（2）由（I）得f（x）=（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，
當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數，
當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數，
故f（x）在x=2時取得極大值f（2）=+6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3．
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性、函數的極值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．