Question

已知函數(shù)f（x）滿足：對定義域內(nèi)的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），則函數(shù)f（x）可以是（　�。�

• A、f（x）=2x+1
• B、f（x）=e^x
• C、f（x）=lnx
• D、f（x）=xsinx

Answer 1

分析：將所給的不等式化為：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式對應(yīng)的函數(shù)含義，根據(jù)基本函數(shù)同為增函數(shù)時的增長情況，對答案項逐一進行判斷即可．

解答：解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①說明自變量變化相等時，當(dāng)自變量越大時，對應(yīng)函數(shù)值的變化量越來越小，
A、f（x）=2x+1是一次函數(shù)，且在R上直線遞增，函數(shù)值的變化量是相等的，A錯；
B、f（x）=e^x是增長速度最快-呈爆炸式增長的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)自變量越大時，對應(yīng)函數(shù)值的變化量越來越大，B錯；
C、f（x）=lnx是增長越來越慢的對數(shù)函數(shù)，當(dāng)自變量越大時，對應(yīng)函數(shù)值的變化量越來越小，C正確；
D、f（x）=xsinx在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，舉例：f（0）=0，f（

π

2

）=

π

2

，f（π）=0，D錯．
故選C．

點評：本題考查了基本函數(shù)同為增函數(shù)時的增長速度的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是將不等式進行轉(zhuǎn)化，并能理解不等式所表達(dá)的函數(shù)意義，考查了分析問題、解決問題的能力．