Question

已知復數z=3+ai，且|z-2|＜2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：解法一：利用模的定義，從兩個已知條件中消去z，再由得數的模的公式轉化為轉化a的不等式，解出a的取值范圍；
解法二：利用復數的幾何意義，由條件|z-2|＜2可知，z在復平面內對應的點z在以（2，0）為圓心，2為半徑的圓內（不包括邊界），由z=3+ai可知z對應的點Z在直線x=3上，由得數的幾何意義得出復數z=3+ai對應的點的軌跡，由圖形得出參數a的取值范圍
解答：解：解法一：
利用模的定義，從兩個已知條件中消去z．
∵z=3+ai（a∈R），由|z-2|＜2，得|3+ai-2|＜2，即|1+ai|＜2，
解得．
解法二：
利用復數的幾何意義，由條件|z-2|＜2可知，z在復平面內對應的點z在以（2，0）為圓心，2為半徑的圓內（不包括邊界），由z=3+ai可知z對應的點Z在直線x=3上，所以線段AB（除去端點）為動點Z的集合．由圖可知．
點評：本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，解題的關鍵是理解復數的代數形式及其幾何意義，將問題轉化不等式求解或將問題轉化為圖象利用幾何關系求解，本題考查了轉化的思想，數形結合的思想，是復數中較為典型的題，