Question

歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690-1764）曾研究過“所有形如

1

(n+1)m+1

（m，n為正整數）的分數之和”問題．為了便于表述，引入記號：
∑_n-1^φ∑_m-1^φ

1

(n+1)m+1

=（

1

22

+

1

23

+ 

1

24

+…）+（

1

32

+

1

33

+

1

34

+…）+（

1

(n+1)2

+

1

(n+1)3

+

1

(n+1)4

+…）+…寫出你對此問題的研究結論：（用數學符號表示）．

Answer 1

分析：先分別求出=（

1

22

+

1

23

+ 

1

24

+…），（

1

32

+

1

33

+

1

34

+…）…的極限再代入∑_n-1^φ∑_m-1^φ

1

(n+1)m+1

通過裂項法求得答案．

解答：解：∵

1

22

+

1

23

+ 

1

24

+…=

1 22

1- 1 2

=

1

2

，

1

32

+

1

33

+

1

34

+…=

1 32

1- 1 3

=

1

2×3

…
∴∑_n-1^φ∑_m-1^φ

1

(n+1)m+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

…=1

點評：本題主要考查了用裂項法求和的問題．當出現

1

n(n+1)

形式的數列求和時可用裂項法．