Question

已知直線的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點．
（1）若拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）對于（1）中的橢圓C，若直線L交y軸于點M，且，當m變化時，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的焦點為（0，），且為橢圓C的上頂點，可得b²=3，又F（1，0），可得c=1，從而可得a²=b²+c²=4，故可求橢圓C的方程；
（2）l與y軸交于，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0，利用韋達定理可得，根據，可得，同理，從而可求λ₁+λ₂的值．
解答：解：（1）拋物線的焦點為（0，），且為橢圓C的上頂點
∴，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴橢圓C的方程為．
（2）l與y軸交于，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0．
∴，
∴．
又由，得．
∴．
同理．
∴．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交，考查向量知識的運用，解題的關鍵是聯立方程組，利用韋達定理解題．