Question

(本小題13分)曲線上任意一點M滿足, 其中F(-F( 拋物線的焦點是直線y＝x－1與x軸的交點, 頂點為原點O.
（1）求，的標準方程；
（2）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交于不同
兩點，，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不
存在，說明理由．

Answer 1

(1) 的方程為：， 的方程為：。
（2）存在直線滿足條件，且的方程為或．

試題分析：（1）由題意結合橢圓的定義和拋物線的焦點坐標，得到關系式。
（2）假設存在這樣的直線，設其方程為，聯立方程組，結合韋達定理和向量數量積得到。
解：(1) 的方程為：， 的方程為：。
（2）假設存在這樣的直線，設其方程為，兩交點坐標為，
由消去，得，
     ①

，②
，③
將①②代入③得，解得
所以假設成立，即存在直線滿足條件，且的方程為或．
點評：解決該試題的關鍵是能利用圖像變換準確得到曲線的方程然后利用向量的數量積來求解得到參數的值。