Question

已知冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}，k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（1）求實數k的值，并寫出相應的函數f（x）的解析式；
（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在區間[2a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）試判斷是否存在正數q，使函數g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區間[-1，2]上的值域為[-4，

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8

]．若存在，求出q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知f（x）在（0，+∞）上單調遞增，結合冪函數的單調性與指數的關系可構造關于k的不等式，解不等式求出實數k的值，并得到函數f（x）的解析式；
（2）由（1）中結果，可得函數F（x）的解析式，結合二次函數的圖象和性質，可構造關于a的不等式，解不等式求出實數a的取值范圍；
（3）由（1）中結果，可得函數g（x）的解析式，結合二次函數的圖象和性質，可求出q的值．

解答：解：（1）由題意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分別代入原函數，得f（x）=x²．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x²-4x+3．…（5分）
要使函數不單調，則2a＜1＜a+1，則0＜a＜

1

2

．…（8分）
（3）由已知，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1．…（9分）
假設存在這樣的正數q符合題意，
則函數g（x）的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸為x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

＜1，
因而，函數g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2處取得，
又g（2）=-1≠-4，
從而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此時，g（x）=-2x²+3x+1，其對稱軸x=

3

4

∈[-1，2]，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值為g(

3

4

)=-2×(

3

4

)2+3×

3

4

+1=

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，符合題意．
∴存在q=2，使函數g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區間[-1，2]上的值域為[-4，

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]．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，冪函數的性質，熟練掌握基本初等函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．