Question

如圖，已知直線l₁：y=2x+m（m＜0）與拋物線C₁：y=ax²（a＞0）和圓C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F(xiàn)是C₁的焦點(diǎn)。

（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由已知，圓的圓心為
圓心到直線的距離d=
解得（舍去）
設(shè)l₁與拋物線相切點(diǎn)為
得
代入直線方程得
∴；
（2）由（1）知拋物線C₁方程為，焦點(diǎn)
設(shè)
由（1）知以A為切點(diǎn)的切線l的方程為
令x=0，得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，
∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊做平行四邊形
∴
因?yàn)镕是定點(diǎn)
所以點(diǎn)M在定直線上；
（3）設(shè)直線代入
得

∵
∴
∴的面積S范圍是。