如圖，四棱錐
的底面是邊長(zhǎng)為
的正方形，側(cè)棱
底面
，且
，
是側(cè)棱
上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ) 求四棱錐的體積；
(Ⅱ) 如果是的中點(diǎn)，
求證
∥平面
；
(Ⅲ) 是否不論點(diǎn)在側(cè)棱的任何位置，
都有
？證明你的結(jié)論．
（1）
（Ⅰ） ∵
平面
，
∴
……………………………2分
即四棱錐
的體積為. ……………………………4分
（Ⅱ） 連結(jié)
交
于
，連結(jié)
．
∵四邊形
是正方形，
∴是的中點(diǎn)．
又∵
是
的中點(diǎn)，
∴
． ………………………6分
平面
平面
…
…………………………8分
∴
平面． ……………………………9分
（Ⅲ）不論點(diǎn)在何位置，都有
. ……………………10分
證明如下：∵四邊形是正方形，∴
．
∵
底面，且
平面，∴
． ……12分
又∵
，∴
平面
． ……………13分
∵不論點(diǎn)在何位置，都有
平面.
∴不論點(diǎn)在何位置，都有. ……………………………14分
輕松奪冠全能掌控卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
（09年朝陽(yáng)區(qū)二模文）（13分）
如圖，四棱錐
的底面是矩形，
底面
，
為
邊的中點(diǎn)，
與平面所成的角為
，且
，
.
(Ⅰ) 求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
（09年山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷三理）（13分）如圖：四棱錐
的底面
是提醒，腰
，
平分
且與
垂直，側(cè)面
都垂直于底面，平面
與底面成60°角
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
如圖，四棱錐
的底面是平行四邊形，
平面
,
,
,
點(diǎn)
是
上的點(diǎn)，且
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求
的值，使
平面
；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，求三棱錐
與四棱錐的體積之比．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省高三上學(xué)期摸底理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
（（本小題滿分14分）如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側(cè)棱
底面，
，
、
分別是棱
、
的中點(diǎn).
（1）求證:
； （2） 求直線
與平面
所成的角的正切值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題
（本小題滿分12 分）
如圖，四棱錐
的底面是邊長(zhǎng)為
的菱形，
，
平面
，
，
為
的中點(diǎn)，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)；
（1）求證：平面
平面；
（2）求二面角
的正切值。
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