Question

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

Answer 1

(I) (II)

解析試題分析：（Ⅰ） 
所以橢圓方程為                                             ……4分
（Ⅱ）由已知直線AB的斜率存在，設AB的方程為：
由 ，得，
得：，即                                       ……6分
設， 
(1)若為直角頂點，則 ，即 ，
，所以上式可整理得，
，解，得，滿足            ……8分
（2）若為直角頂點，不妨設以為直角頂點，，則滿足：
，解得，代入橢圓方程，整理得，
解得，，滿足   ……10分
時，三角形為直角三角形.    ……12分
考點：本小題主要考查圓的標準方程，橢圓的標準方程，橢圓的性質和直線與橢圓的位置關系.
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運算量較大，主要考查學生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.