Question

若直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個不同的交點，則k的取值范圍是

（-∞，-

3

2

）

．

Answer 1

分析：直線y=kx+1是過定點（0，1），斜率為k的動直線，曲線x=

1-4y2

的形狀是橢圓x²+4y²=1的右半部分，數形結合可知要使直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個不同的交點，需求直線與橢圓相切時的斜率，將直線代入橢圓方程，由△=0即可得此斜率，最后數形結合寫出結果

解答：解：曲線x=

1-4y2

的形狀是橢圓x²+4y²=1的右半部分
直線y=kx+1是過定點（0，1），斜率為k的動直線，
數形結合可知當直線與橢圓x²+4y²=1的右半部分相切時，斜率最大，此時將直線順時針旋轉至與y軸重合時，直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個不同的交點，
將y=kx+1代入x²+4y²=1得（1+4k²）x²+8kx+3=0，由△=64k²-12（1+4k²）=0，得k=-

3

2

∴直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個不同的交點時k的取值范圍是（-∞，-

3

2

）
故正確答案為（-∞，-

3

2

）

點評：本題考查了橢圓的標準方程的識別，直線與橢圓相交相切的判定，考查了數相結合的思想方法，屬基礎題