Question

一個袋子中有3個新球和7個舊球，逐個從袋中取球，直到取到舊球時停止．若新球取出打過比賽，則認為取出的新球變為舊球．記X為取球的次數，設袋中每個球被取到的可能性相同．在下面兩種情況下分別求出X的概率分布：
（1）每次取出的球都不放回袋中；（2）每次取出一球后打比賽，賽完后放回袋中．

Answer 1

分析：（1）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，結合變量對應的事件，X=1表示第1次就取到舊球，X=2表示第1次取到新球，第2次取到舊球，以此類推，做出概率，寫出分布列．
（2）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，X=1表示第1次就取到舊球，X=2表示第1次取到新球，第2次取到舊球，以此類推，做出概率，寫出分布列．

解答：解：（1）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4．X=1表示第1次就取到舊球，P(X=1)=

7

10

；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到舊球，P(X=2)=

3×7

10×9

=

7

30

；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到舊球，P(X=3)=

3×2×7

10×9×8

=

7

120

；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到舊球，P(X=4)=

3×2×1×7

10×9×8×7

=

1

120

．
∴X的分布表為：

X	1	2	3	4
P	7 30	7 30	7 120	1 120

（2）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4．
X=1表示第1次就取到舊球，P(X=1)=

7

10

；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到舊球，P(X=2)=

3×8

10×10

=

6

25

；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到舊球，P(X=3)=

3×2×9

10×10×10

=

27

500

；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到舊球，P(X=4)=

3×2×1×10

10×10×10×10

=

3

500

．
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	7 10	6 25	27 500	3 500

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，主要看清楚兩個問題中的不同點，一個是有放回抽樣，一個是不放回抽樣，注意事件的概率不要出錯．