Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中點．求證：平面MBD⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析：設該正方體的邊長為1，取BD的中點為P，連接MP，C₁P，易證C₁P⊥BD，MP⊥BD，通過計算可證得C1M2=C1P2+MP²，從而證得C₁P⊥MP，利用面面垂直的判定定理即可證得結論．

解答：證明：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中點，作圖如下：

不妨設該正方體的邊長為1，取BD的中點為P，連接MP，C₁P，
∵△C₁BD為邊長為

2

的等邊三角形，點P為BD的中點，
∴C₁P⊥BD，且C₁P=C₁Dsin60°=

2

×

3

2

=

6

2

；
同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①
∴直角三角形MPD中，MD=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，PD=

2

2

，
∴MP=

MD2-PD2

=

5 4 - 2 4

=

3

2

；
又C₁M=

C1A12+A1M2

=

2+ 1 4

=

3

2

；
在△C₁MP中，MP=

3

2

，C₁P=

6

2

，C₁M=

3

2

，
∴C1M2=C1P2+MP²，
∴△C₁MP為直角三角形，C₁P⊥MP，②
由①MP⊥BD，②C₁P⊥MP，C₁P∩BD=P，
∴MP⊥平面BDC₁．
又MP?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面BDC₁．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，著重考查作圖與運算、推理證明的能力，證得C₁P⊥MP是關鍵，屬于中檔題．