Question

【題目】已知函數f（x）=lg ，f（1）=0，且f（2）﹣f（ ）=lg2．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若x∈（0，+∞）時方程f（x）=lgt有解，求實數t的取值范圍；
（3）若函數y=f（x）﹣lg（8x+m）的無零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵且f（2）﹣f（ ）=lg2，即x＞0時，f（x）﹣f（ ）=lgx．

lg ﹣lg =lgx，

即lg﹣lg=lgx，

即lg（ ）=lgx， =x．

整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x=0恒成立，

∴a=b，

又f（1）=0，

即a+b=2，從而a=b=1．

∴f（x）=lg ，

∵ ＞0，

∴x＜﹣1，或x＞0，

∴f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

（2）解：方程f（x）=lgt有解，

即lg =lgt，

∴t= ，

∴x（2﹣t）=t，

∴x= ，

∴ ＜﹣1，或 ＞0，

解得t＞2，或0＜t＜2，

∴實數t的取值范圍（0，2）∪（2，+∞）

（3）解：函數y=f（x）﹣lg（8x+m）的無零點即方程f（x）=lg（8x+m）的解集為，

∴lg =lg（8x+m），

∴ =8x+m，

∴8x2+（6+m）x+m=0，

方程的解集為，故有兩種情況：

①方程8x2+（6+m）x+m=0無解，即△＜0，得2＜m＜18，

②方程8x2+（6+m）x+m=0有解，兩根均在[﹣1，0]內，g（x）=8x2+（6+m）x+m，

則 ，解得：0≤m≤2，

綜合①②得實數m的取值范圍是0≤m＜18

【解析】（1）由已知中函數，以構造一個關于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進而得到f（x）的表達式；（2）由（1）中函數f（x）的表達式，轉化為一個方程，分離參數，根據f（x）的定義域即可求出；（3）根據對數的運算性質，可將方程f（x）=lg（8x+m），轉化為一個關于x的分式方程組，進而根據方程f（x）=lg（8x+m）的解集為，則方程組至少一個方程無解，或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．