Question

請認真閱讀下列程序框圖：
已知程序框圖x_i=f（x_i-1）中的函數關系式為f(x)=

4x-2

x+1

，程序框圖中的D為函數f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數x_i組成一個數列{x_n}．
（1）若輸入x0=

49

65

，請寫出數列{x_n}的所有項；
（2）若輸出的無窮數列{x_n}是一個常數列，試求輸入的初始值x₀的值；
（3）若輸入一個正數x₀時，產生的數列{x_n}滿足：任意一項x_n，都有x_n＜x_n+1，試求正數x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用 f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及工作原理，注意函數的定義域，直接可求得數列{x_n}的只有三項；
（2）要數列發生器產生一個無窮的常數列，則有 f(x)=

4x-2

x+1

=x，從而求出相應的初始數據x₀的值；
（Ⅲ）要使對任意正整數n，均有x_n＜x_n+1，則必須

4xn-2

xn+1

＞xn，得1＜x_n＜2，要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，從而得出結論．

解答：解：（1）當x0=

49

65

時，因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴x1=f(x0)=

4x0-2

x0+1

═

4×  49 65 -2

49 65 x+1

=

11

19

，
x2=f(x1)=

4x2-2

x2+1

═

4× 11 19 -2

11 19 x+1

=

1

5

，
x3=f(x2)=

4x2-2

x2+1

═

4× 1 5 -2

1 5 x+1

=-1∉D，
所以數列{x_n}只有三項 x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（2）數列{x_n}是一個常數列，則有x₁=x₂=…=x_n=x₀即  x0=f(x0)=

4x0-2

x0-1

，解得：x₀=1或x₀=2，
所以輸入的初始值x₀為1或2時輸出的為常數列．
（3）由題意知 xn+1=f(xn)=

4xn-2

xn+1

＞xn，因x₀＞0，
∴x_n＞0，有：

4xn-2

xn+1

＞xn得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x₀-2）（x₀-1）＜0，解得：1＜x₀＜2，
所以當正數x₀在（1，2）內取值時，所輸出的數列{x_n}對任意正整數n滿足x_n＜x_n+1．

點評：本小題主要考查數列與算法的簡單結合、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．