Question

11．下列四個命題：
（1）函數f（x）在x＞0時是增函數，x＜0時也是增函數，所以f（x）是增函數；
（2）若m=log_a2，n=log_b2且m＞n，則a＜b；
（3）函數f（x）=x²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上是減函數，則實數a的取值范圍是a≤-3；
（4）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（x²+x-2）的減區間為（1，+∞）．
其中正確的個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據函數的單調性以及對數函數、二次函數的性質分別判斷即可．

解答 解：對于（1），例如f（x）=-$\frac{1}{x}$在x＞0時是增函數，x＜0也是增函數；但f（x）在定義域上不是增函數，故（1）錯；
對于（2）若m=log_a2，n=log_b2且m＞n，a＞1，b＞1時則a＜b；0＜a＜1，0＜b＜1時，a＞b，故（2）錯誤；
對于（3）函數f（x）=x²+2（a-1）x+2的對稱軸x=1-a，
若函數在區間（-∞，4]上是減函數，則1-a≥4，解得：a≤-3，
則實數a的取值范圍是a≤-3；故（3）正確；
對于（4）由y=x²+x-2＞0，解得：x＞1或x＜-2，
對稱軸x=-$\frac{1}{2}$，故y=x²+x-2在（1，+∞）遞增，
故y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（x²+x-2）的減區間為（1，+∞），（4）正確；
故選：C．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查對數函數以及二次函數的性質，考查復合函數的性質，是一道中檔題．