Question

（2006•崇文區一模）某足球賽事中甲乙兩只球隊進入決賽，但乙隊明顯處于弱勢，乙隊為爭取勝利，決定采取這樣的戰術：頑強防守，0：0逼平甲隊進入點球大戰．假設在點球大戰中雙方每名運動員進球概率均為

3

4

．現規定：點球大戰中每隊各出5名隊員，且每名隊員都各踢一球，求：
（I）乙隊以4：3點球取勝的概率有多大？
（II）設點球中乙隊得分為隨機變量ξ，求乙隊在五個點球中得分ξ的概率分布和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據相互獨立事件的概率公式以及n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式進行求解即可；
（II）點球中乙隊得分為隨機變量ξ的取值可能為0，1，2，3，4，5，然后根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）乙隊以4：3點球取勝的概率為P=

C

4 5

(

3

4

) 4(

1

4

)1

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=25×

81×27

219

=0.1043
（II）點球中乙隊得分為隨機變量ξ的取值可能為0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=

C

0 5

(

3

4

)0(

1

4

)5=

1

210

，P（ξ=1）=

C

1 5

(

3

4

)1(

1

4

)4=

15

210

，P（ξ=2）=

C

2 5

(

3

4

)2(

1

4

)3=

45

29

P（ξ=3）=

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=

135

29

，P（ξ=3）=

C

4 5

(

3

4

)4(

1

4

)1=

405

210

，P（ξ=5）=

C

5 5

(

3

4

)5(

1

4

)0=

243

210

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 210	15 210	45 29	135 29	405 210	243 210

∴Eξ=0×

1

210

+1×

15

210

+2×

45

29

+3×

135

29

+4×

405

210

+5×

243

210

=3.75

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望和分布列，以及二項分布與n次獨立重復試驗的模型，同時考查了計算能力，屬于中檔題．