Question

設數列{a_n}前n的項和為 S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*）．其中m為常數，m≠-3且m≠0
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且為等差數列，并求b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給的關系式（3-m）S_n+2ma_n=m+3，仿寫一個關系式，兩式相減，減掉了前n項和的形式，變成數列的遞推式，得到連續兩項的比值等于常數，證出是一個等比數列．
（2）根據所給的關于數列的關系式，看清題目的發展方向是求通項的倒數是一個等差數列，需要把關系式兩邊同時除以連續兩項的積，得到結論，寫出通項．
解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）
∴，
∴{a_n}是等比數列．

點評：本題考查有遞推式求通項，這是數列中常見的一種題目，在解題時注意要求證明數列是等比數列或等差數列，需要按照數列的定義來看題目的思路．