Question

2．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BB₁，AC=BC=BB₁，E為A₁B₁的中點，且C₁E⊥BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面BEC₁；
（2）求A₁C與平面ABB₁A所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結B₁C，交BC₁于F，連結EF，推導出EF∥A₁C，由此能證明A₁C∥平面BEC₁．
（2）取AB中點D，連結DE，DA₁，DC，推導出C₁E∥CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠CA₁D是A₁C與平面ABB₁A所成角，由此能求出A₁C與平面ABB₁A所成角的大小．

解答 （本小題12分）
證明：（1）連結B₁C，交BC₁于F，連結EF，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁C₁C是平行四邊形，∴F為B₁C中點，
∵E為A₁B₁的中點，∴EF∥A₁C，
∵EF?平面BEC₁，A₁C?平面BEC₁，
∴A₁C∥平面BEC₁．…（4分）
解：（2）取AB中點D，連結DE，DA₁，DC，
∵E為A₁B₁中點，∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，DE∥CC₁，
∴四邊形C₁EDC是平行四邊形，∴C₁E∥CD，
∵C₁E⊥A₁B₁，C₁E⊥BB₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CA₁D是A₁C與平面ABB₁A所成角，
∵CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，A₁C=$\sqrt{2}AC$，
∴sin∠CA₁D=$\frac{CD}{{A}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$，∴$∠C{A}_{1}D=\frac{π}{6}$．
∴A₁C與平面ABB₁A所成角的大小為$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．