Question

已知函數 （a≥0）．
（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）當時，方程有實根，求實數b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數f（x）的導函數，由x=2為f（x）的極值點，所以f^′（2）=0，由此列式求出實數a的值；
（2）根據函數y=f（x）在[3，+∞）上不是單調函數，說明當x∈[3，+∞）時函數有意義，據此判斷出a≥0，根據（1）中求出的函數的導函數，由導函數大于0和小于0在[3，+∞）上都有解既能說明y=f（x）在[3，+∞）上不是單調函數；然后由導函數大于0和小于0在[3，+∞）上都有解求出a的范圍取交集；
（3）把代入函數解析式，整理方程，分離出變量b，問題轉化為求函數值域問題．
解答：解：（1）由函數 
得：
=
=．
因為x=2為f（x）的極值點，所以f^′（2）=0．
即，解得：a=0．
又當a=0時，f^′（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點成立．
（2）由函數f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
則g（x）＞0與g（x）＜0在區間[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的對稱軸為，
因此只要g（3）＜0即說明g（x）＜0在區間[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：或．
因為a≥0，所以．
綜上所述，a的取值范圍是（，+∞）．
（3）若a=時，方程可化為：．
問題轉化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因為g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則，
當0＜x＜1時，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上為增函數，
當x＞1時，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上為減函數，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，當x=1時，b取得最大值0．
所以，當時，使方程有實根的b的最大值為0．
點評：本題考查了利用導函數研究函數的極值，考查了函數的零點與方程根的關系，考查了分類討論思想和數學轉化思想，函數在給定的區間上不是單調函數，說明函數的導函數在該區間上不同號，此題有一定難度，屬難題．