Question

設雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（Ⅱ）設直線l與y軸的交點為P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

Answer 1

分析：（I）把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用判別式大于0和方程二次項系數不等于0求得a的范圍，進而利用a和c的關系，用a表示出離心率，根據a的范圍確定離心率的范圍．
（II）設出A，B，P的坐標，根據

PA

=

5

12

PB

求得x₁和x₂的關系式，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，聯立方程求得a．

解答：解：（I）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有兩個不同的實數解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
雙曲線的離心率
e=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

即離心率e的取值范圍為(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．
由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

．
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．