Question

【題目】已知函數，是偶函數．

（1）求的值；

（2）若函數的圖象在直線上方，求的取值范圍；

（3）若函數，，是否存在實數使得的最小值為0？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由，化簡可得，對任意恒成立，從而可得；（2）函數的圖象在直線上方，等價于對任意的成立，即，利用復合函數的單調性求出的最小值即可得結果；（3），令，則，，分類討論，利用二次函數的單調性，分別求出最小值，令其為零，解方程即可的結果.

（1）∵，所以，

即，∴，對任意恒成立，所以，.

所以， .

（2）函數的圖象在直線上方，

等價于對任意的成立，即.

.

令，在上單調減，

而，所以，由此 .

（3），令，

則，.

①當,即時，在遞增，從而，舍去；

②當即時，在上遞減，在遞增，

從而，則；

③即,時，在遞減，從而，則舍去.

綜上： .