Question

如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.

（Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點，

所以是的中點.又點是棱的中點，

所以是的中位線，.             

因為平面,平面,

所以平面.                   

（Ⅱ）解：由題意，，

因為，

所以，.  ………………4分

又因為菱形，所以，.

建立空間直角坐標系，如圖所示.

.

所以

                     ………………6分

設平面的法向量為，

則有即：

令，則，所以.            ………………7分

因為,所以平面.    

平面的法向量與平行，

所以平面的法向量為.                       ………………8分

，

因為二面角是銳角，

所以二面角的余弦值為.                ……………9分

（Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，，

則，

所以，                               ……………10分

則，，

由得，即，…………11分

解得或，                                         ……………12分

所以點的坐標為或.                           ……………13分

（也可以答是線段的三等分點，或）