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已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|sinx，試求f（x）的值域．
分析：（1）利用兩個向量數量積公式求得
a
•
b
=cos2x，求出|
a
+
b
|2的值 可得|
a
+
b
|的值．
（2）利用二倍角公式及輔助角公式化簡f（x）的解析式為
2
cos(2x+
π
4
)，再根據x∈[0，
π
2
]求出函數f（x）的值域．
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
+sin
3x
2
sin
x
2
=cos（
3x
2
+
x
2
）=cos2x．
|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2x．
由于x∈[0，
π
2
]，
∴|
a
+
b
|=
2+2cos2x
=
4cos2x
=2cosx．
（2）∵f(x)=cos2x-2cosxsinx=cos2x-sin2x=
2
cos(2x+
π
4
)…(9分)，
又∵x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴
2
cos(2x+
π
4
) ∈[-
2
2
，
2
2
]，
故函數f（x）的值域是[-1，1]．…（12分）
點評：本題主要考查兩個向量數量積公式的應用，求向量的模的方法，余弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數y=f（x）在區間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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