Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點O作傾斜角為

π

3

的直線n，交l于點A，交⊙M于另一點B，且AO=OB=2．
（1）求⊙M和拋物線C的方程；
（2）過l上的動點Q向⊙M作切線，切點為S，T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據

p

2

=OA•cos60°可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（2）以點Q為圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，求出⊙Q的方程，可得ST的方程，從而可求定點坐標．

解答：（1）解：因為

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x
設⊙M的半徑為r，則r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4；
（2）證明：以點Q為圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦
設點Q（-1，t），則QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程為（x+1）²+（y-t）²=t²+5
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*）
因為x=

2

3

，y=0一定是方程（*）的解，所以直線ST恒過一個定點，且該定點坐標為（

2

3

，0）．

點評：本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，考查直線恒過定點問題，確定ST是⊙Q與⊙M的公共弦是關鍵．