Question

（2013•廣州一模）已知函數f(x)=Asin(ωx+

π

4

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正期為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求cos∠POQ的值．

Answer 1

分析：（1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，從而得到函數的解析式．
（2）根據條件求得P和 Q的坐標，|OP|、|PQ|、|OQ|的值，再利用余弦定理求得cos∠POQ．

解答：解：（1）由題意可得 A=2，T=

2π

ω

=8，解得ω=

π

4

，
故函數f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）∵函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，
∵f（2）=2sin（

π

2

+

π

4

）=2cos

π

4

=

2

，f（4）=2sin（π+

π

4

）=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P（2，

2

 ）、Q（4，-

2

），|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

，
∴cos∠POQ=

OP2+OQ2-PQ2

2OP•OQ

=

( 6 )2+(3 2 )2-(2 3 )2

2 6 •3 2

=

3

3

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，余弦定理的應用，屬于中檔題．