Question

為了保護三峽庫區的生態環境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要綠化造林，經初步統計，在三峽庫區內坡度大于25°的坡荒地面積約有2640萬畝，若從2003年初開始綠化造林，第一年造林120萬畝，以后每年比前一年多綠化60萬畝．
（1）若所有被綠化造林的坡荒地全都成功，問到哪一年底可使庫區的坡荒地全部綠化？
（2）若每萬畝綠化造林所植樹苗的木材量平均為0.1萬立方米，每年樹木木材量的自然生長率為20%，那么當整個庫區25°以上坡荒地全部綠化完成的那一年底，一共有木材多少萬立方米？（保留1位小數，1.2⁹=5.16，1.2⁸=4.30）

Answer 1

分析：（1）由于從2003年初開始綠化造林，第一年造林120萬畝，以后每年比前一年多綠化60萬畝，設每年應綠化的坡荒地面積為a_n則{a_n}為等差數列，從而可求前n項的和，要使庫區的坡荒地全部綠化，則有S_n≥2640，從而問題可解．
（2）設該庫區每年擁有木材量為b_n，則有b₁=120×0.1×（1+20%）⁸=12×1.2⁸；b₂=（120+60）×0.1×（1+20%）⁷=18×1.2⁷；…b₈=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，∴S₈=b₁+b₂+…+b₈=6（2×1.2⁸+3×1.2⁷+…+9×1.2），利用錯位相減法可求．

解答：解：（1）設每年應綠化的坡荒地面積為a_n（單位：萬畝），則{a_n}為等差數列．
∵a₁=120，d=60，∴S_n=120n+

1

2

×n（n-1）×60
令S_n≥2640，即4n+n（n-1）≥88，（n+11）（n-8）≥0，n∈N⁺，∴n≥8．
故到第8年底，即2010年底可使庫區的坡荒地全部綠化．…（5分）
（2）設該庫區每年擁有木材量為b_n（含種植的樹苗及自然生長量，單位：萬m³）．則
b₁=120×0.1×（1+20%）⁸=12×1.2⁸；
b₂=（120+60）×0.1×（1+20%）⁷=18×1.2⁷；
…
b₈=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，
∴S₈=b₁+b₂+…+b₈=6（2×1.2⁸+3×1.2⁷+…+9×1.2）（1）…8分
1.2S₈=6（2×1.2⁹+3×1.2⁸+…+9×1.2²）          （2）
由（2）-（1）得 0.2 S₈=6（2×1.2⁹+1.2⁸+1.2⁷+…1.2²-9×1.2）
∴S₈=30[2×1.2⁹+

1.22(1-1.27)

1-1.2

-9×1.2]=30[2×1.2⁹+5（1.2⁹-1.2²）-9×1.2]=30（7×5.16-5×1.44-9×1.2）
=30（36.12-18）=543.6．
故到2010年底共有木材543.6萬m³．…（13分）

點評：本題主要考查數列模型的簡歷，考查錯位相減法求和，有一定的綜合性．